Componentes Coordenadas de un Vector Libre

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Coordenadas en el plano (2D)

Consideremos un vector libre a→ situado en el plano, ligado al origen de coordenadas. Se denominan componentes coordenadas de ese vector a las proyecciones a_x, a_y de dicho vector sobre los ejes de coordenadas.

Designando por α el ángulo que forma la línea de acción del vector con cada eje coordenado, y por a al módulo, el valor de las proyecciones será:

• a_x = a · cos α
• a_y = a · sen α

Con el Teorema de Pitágoras, o elevando a cuadrado y sumando las dos ecuaciones anteriores, resulta:

• a_x² + a_y² = a²

Estas proyecciones no varían cualquiera que sea el origen del vector a→.
En función de sus proyecciones, podemos escribir así el vector:

• a→ = (a_x, a_y)

Coordenadas en el espacio (3D)

Ahora, consideramos el vector a→ situado en el espacio, busquemos sus proyecciones en los ejes:

Nótese que los ángulos α y β están designados arbitrariamente; se puede definir cualquier ángulo siempre y cuando la trigonometría se aplique correctamente. Para este caso, el valor de las proyecciones es:

• a_x = a · cos β · cos α
• a_y = a · cos β · sen α
• a_z = a · sen β

Aunque si se toman los ángulos que forma a→ con cada uno de los ejes obtenemos las proyecciones:

• a_x = a · cos α
• a_y = a · cos β
• a_z = a · cos γ

A estos cosenos se les llama cosenos directores; hay que tener en cuenta que "la suma de los cuadradados de los cosenos directores es igual a la unidad".

• cos² α + cos² β + cos² γ = 1

Nota: recomendamos no molestarse con el concepto de los cosenos directores, ya que cada problema puede aportar ángulos distintos que confundirían la trigonometría. Hemos decidido definir en la imagen nuestro vector a→ solo con tres datos: a, α y β; ya que no necesitamos más datos, así como evitamos confusiones con el convenio de ángulos. Descomponer vectores no es más que un pequeño ejercicio de trigonometría que no conviene automatizar.

Dadas las proyecciones en el espacio, podemos escribir el vector como:

• a→ = (a_x, a_y, a_z)

Si se juega con las ecuaciones anteriores se llegará al resultado:

• a_x² + a_y² + a_z² = a²

Cuya demostración se deja como ejercicio para el lector.

Vector Unitario de un vector dado

Adición o Suma de Vectores